8.12　什么時候走長的路比短的路更快？

　　那么，難道說走折曲的路徑比走直線能夠更快地到達目的地嗎？是的，如果全程各段的行進速度不一樣，那情形的確是這樣。

　　舉例來說，假定有一個人住在兩個火車站之間，而離一個火車站很近。他想盡快走到比較遠的那個車站上去，他會騎馬向反方向走到比較近的車站，在那里搭上火車到他的目的地去。從他的村莊到他的目的地，如果一直騎馬前去，走的路會近一些，但是他寧愿騎馬搭火車走一段比較長的路，原因是這樣走會比較快到達目的地。在這里，走長的路就比走短的路更快。

　　現在不妨再花一分鐘時間看一看另外一個例子。一位騎馬的通訊員，要從A點把一份報告送到C點的司令官那里。在他和司令官帳幕之間隔著一片沙地和一片大草地，沙地和草地的分界線是一條直線EF。馬在沙地里走是很困難的，這兒的速度只等于在草地上速度的一半。問：為了盡快把報告送到，這位騎馬的通訊員應該選擇怎么樣的路線？

　　初看最快的路徑自然應當是從A到C的直線。但這是完全錯誤的，而且我也不相信會有走這條路徑的通訊員。沙地上難走他是明白的，這使他正確地考慮到難走的沙路應該越短越好，就是越過這沙地的路線應該越斜得少越好；當然，這樣做會加長了越過草地上的路；但是在草地上可以走得比較快，速度等于沙地的兩倍，因此路長一些也還是有利的，使得全程可以在較短時間里走完。換句話說，他走的路線應該在沙地和草地的分界線上拆曲，使草原上所走的路線跟分界線的垂線所成的角，比沙地上所走的路線跟這垂線所成的角大。

　　懂幾何學的人，可以用勾股弦定理算出直線AC果然不是最快的路線，如果照我們這里圖上所畫的尺寸來說，假定我們沿AEC折線行進的話，可以更快到達目的地。

　　圖102上注明，沙地闊2公里，草地闊3公里，BC長7公里。于是按照勾股弦定理，AC的全長就是是等于3.44公里。由于沙地上行進速度只等于草地上的一半，3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的時間。因此，走完全長8.60公里的AC直線的路程所要花的時間，等于在草地上走12.04公里所花的時間。

　　現在我們給折線路程AEC也來做一次同樣的計算。折線的AE部分是2公里，所花的時間等于在草地上走4公里的時間；EC部分的時間相當于在草地上走4+7.61=11.61公里。 

　　照這樣說，看起來比較“短”的直路，實際上相當于在草地上走12.04公里，而比較“長”的折線路卻一共相當于在草地上走11.61公里。你看，比較“長”的路竟要比那比較“短”的路近12.04－11.61=0.43公里，就是大約近半公里！我們這里還沒有指出最快的路線。理論告訴我們，最快的路線應該是（這兒得找三角學來幫忙了）使b角的正弦跟a角的正弦間的比（sinb：sina）等于草地上速度踉沙地上速度間的比，就是2∶1。換句話說，要選最快的路線，一定要使sinb等于sina的兩倍。這樣跨過分界線的M點，應該離E一公里。

　　那時候

　　sinb和sina的比是：

　　就是恰好等于兩個速度的比。

　　那么，這全部路程換算做在草地上走的路程，等于多長呢？試演算一6.70公里。全程長4.47＋6.70=11.17公里，就是要比直線路程短0.87公里，因為我們已經知道那直線路程的長度是相當于草地上12.04公里的。

　　這兒你可以看見，在本題所說的條件下，把行進路線屈折是比依直線走更有利的。光線就正是選擇了這樣的捷徑，因為光的折射定律就完全適合解答這個題目的一切數學上的要求的：折射角的正弦跟入射角正弦的比，恰好等于光在新的介質里的速度跟它在原來的介質里的速度的比；從另一方面來說，這個比值就是光在這兩種介質間的折射率。

　　把光的反射和折射的定律結合到一起，我們就可以說光線在不管什么情形下都是依最快的路徑行進的，這在物理學上就叫“最快到達的原理”（費馬原理）。

　　假如介質不是均勻的，它的折射能力是逐漸改變的，例如在大氣里——在這種情形下，仍舊是合于最快到達的原理的。這可以解釋從天體來的光線在大氣里稍微折射的現象，這種折射天文學家叫“大氣折射”。大氣的密度是向下層逐漸加大的，在這樣的大氣里，光線的折射路線是凹向地面的，這樣光線在上層空氣里走的時間比較久，因為那里它可以走得更快些，而在不容易走快的下層里走的時間比較短；結果它就會比沿直線路徑更快地到達目的地。

　　最快到達的原理（費馬原理）不只在光的現象適用，對于聲的傳播以及一切波動也完全適用，不管波動是屬于哪一種類的。

　　讀者一定很想知道，波動的這種特性是怎樣解釋的。這種特性在最近的物理學理論上，起了很大的作用。因此我把現代物理學家薛定諤對于這一點的解釋①介紹在下面。

　　從方才談的兵士行進的例子出發，而且假定光線是在密度逐漸改變的介質里行進，現代物理學家說：

　　假定兵士都握著一根長桿子，使得隊伍的正面能夠保持整齊。現在司令員下令用全速跑步前進！假如地面的情形是逐漸改變的，比方說，起初隊伍的右翼移動得比較快，以后左翼才跟了上去——這樣隊伍的正面就自然而然會轉了過去。這里我們就可以看出，他們所走的路徑就不是直線而是曲折了的。至于這條路徑在時間上應該是最快到達目的地這一點，那是很明顯的，因為每個兵士都是用最大速度在跑的。

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