平均數

1、①定義：一般的，如果有n個數x1 x2 x3 … xn， 則：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②當一組數據x1 x2 x3 … xn 各個數值較大時，可將數據同時減去一個適當的常數a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn= xn/-a 則 x拔 = x拔 / + a

常數a通常取接近于這組數據的平均數(約略估計)的整數

③加權平均數：如果在n個數中，x1出現f1次，x2出現fk次，…… xk出現fn次(f1+f2+…+fk=n )則

=(x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 +… +xk fk )÷n

2、幾個概念：

①總體：考察對象的全體

②個體：每一個考察對象

③樣本：從整體中抽取的一部分個體叫總體的一個樣本

④樣本容量：樣本中個體得數目

⑤總體平均數：總體中所有個體的平均數

⑥樣本平均數：樣本中所有個體的平均數

例1：初三全年級4個班數學測驗平均成績分別是 x拔1 x拔2 x拔3 x拔4 則全年級平均成績是( x拔1 + x拔2 + x拔3 + x拔4 )÷4 這種算法不一定正確

⑴當各班人數相同時算式成立

⑵當各班人數不同時算式不成立

3、概念：

⑴眾數：一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。

理解：注意出現次數最多的數據和出現次數最多次數兩種說法的不同

⑵中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫這組數據的中位數

⑶對眾數、平均數、中位數的理解：

①眾數說明了該數據出現的次數最多;中位數說明了該組數據以中位數為點將數據劃分為數據各占一半的兩部分。平均數反應了改組數據的平均值。

4、中位數的找法：

給我們一組數組，將該數組由小到大排列，設數組的個數為n，

1、當n為奇數時，n÷2得一小數，用進一法取整數f，則，第f個數就是該數組的中位數。

2，當n為偶數時，n÷2得一整數m，第m和m+1個數的平均數就是該數組的中位數。

3、眾數、中位數、平均數從不同角度描述了一組數據的平均趨勢，其中，又以平均數應用最為廣泛

例1、判斷題：

⑴只要一組數據中有一個數字變動，那么平均數就一定會跟著變動(答案：對)

⑵平均數一定有現實意義(答案：錯)

⑶在一組數據中加入它的平均數，則新數據組中平均數不變(答案：對)

5、方差：

⑴引入方差的目的：對于一組數據，除需要了解它們的一般水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小)

⑵概念：設在一組數據x1、x2、…、xn中，各數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1- x拔)2 、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我們用它們的平均數來衡量這組數據的波動的大小，并把它叫做這組數據的方差

即：S2=[(x1-x拔 )2 + (x2-x拔 )2 + … + (xn- x拔)2]/n

⑶意義：一組數據的方差越大，這組數據的波動越大

⑷計算方差的兩個變形公式

⑴ S2=[(x12 + x22 + … + xn2 ) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/ = xn -a ( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n個數,a是接近這組數據的平均數的一個常數)則

S2=[(x1/2 + x2/2 + … + xn/2 ) - n x拔/2]/n

6、標準差:

⑴概念:方差的算術平方根叫這組數據的標準差

⑵意義: 標準差也是用來衡量一組數據的波動大小的重要的量,標準差越大,數據的波動越大,反之亦然。

7、方差、標準差綜合概括：

一般地，若一組數據x1、x2、…、xn 的平均數為x拔 ，方差為S2，標準差為S ，則：

⑴數組：x1 +a x2+a … xn +a的平均數為 x拔+a ，方差和標準差不變

⑵數組：kx1 kx2 … kxn 的平均數為 kx拔 ，方差變為k2S2，標準差為kS

⑶數組：k x1 +a kx2+ a …kxn+a的平均數為kx拔 +a，方差為k2S2，標準差為Ks

例1：對一組數：-2、-1、x、1、2，若x為不大于10的非負數，方差為整數，計算標準差

答案：根據S2=[(x12+x22 + …+xn2 )-n 2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

8、頻率分布

⑴組距：指每個小組的兩個端點之間的距離

分組數=(最大值-最小值)/組距

⑵頻數：把數據總數分成若干小組，落在各個小組內的數據的個數叫頻數

⑶頻率：每一小組的頻數與數據總數的比值叫這一小組的頻率

9、畫頻率分布直方圖

⑴橫半軸：各組組距

縱半軸：頻率與組距的比。即 頻率/組距

⑵小長方形的高=頻率/組距=頻數/(數據總數×組距)

∵(1/數據總數×組距)為常數

∴小長方形的高與頻數成正比

⑶在頻率分布直方圖中,由于各小長方形的面積等于響應各組的頻率、而各組頻率的和等于1,因此, 各小長方形面積的和等于1

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