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什么是因式分解

把(a+b)²算出來是整式的乘法：

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²

反過來，把a(bǔ)²+2ab+b²分解為兩個(gè)因式的乘積叫因式分解，因式分解是整式乘法的逆過程。

a²+2ab+b²=(a+b)(a+b)=(a+b)²

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。

今天給大家介紹七種常用的因式分解的方法。

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因式分解的7種常用方法

因式分解：x²-y²+x+5y-6

方法一：『配方法』解：x²-y²+x+5y-6=x²+x+1/4-y²+5y-6-1/4

=(x²+x+1/4)-(y²-5y+25/4)

=(x+1/2)²-(y-5/2)²

=(x+1/2+y-5/2)(x+1/2-y+5/2)

=(x+y-2)(x-y+3)

通過完全平方公式，湊成兩個(gè)數(shù)平方的差。

方法二：『十字相乘法』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6

=(x+y-2)(x-y+3)

方法三：『構(gòu)造法』

解：觀察式子x²-y²+x+5y-6的前兩項(xiàng)

x²-y²=(x+y)(x-y)

所以，可設(shè)x²-y²+x+5y-6

=(x+y+m)(x-y+n)

=x²-y²+m(x-y)+n(x+y)+mn

=x²-y²+(m+n)x+(n-m)y+mn

可以得到，

①m+n=1

②n-m=5

③mn=-6

利用①②解方程得，m=-2，n=3

所以，原式=(x+y-2)(x-y+3)

方法四：『主元法1』

解：觀察式子x²-y²+x+5y-6含有二元，把其中的x當(dāng)作主要未知數(shù)，y當(dāng)作常量，整理式子得到，

x²-y²+x+5y-6

=x²+x+(-y²+5y-6)

=x²+x+(y-2)(-y+3)

因?yàn)?y-2)+(-y+3)=1

所以，原式=(x+y-2)(x-y+3)

方法四：『主元法2』

解：和上面一樣，反過來可以把y當(dāng)作未知數(shù)，x當(dāng)作常數(shù)項(xiàng)，得

x²-y²+x+5y-6

=-y²+5y+(x²+x-6)

=-y²+5y+(x+3)(x-2)

因?yàn)?-1)(x-2)+(x+3)=5

所以，原式=(y+x-2)(-y+x+3)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法五：『提取公因式法1』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(3x+3y)+(-2x+2y)-6

=(x+y)(x-y)+3(x+y)-2(x-y)-6

=(x+y)(x-y+3)-[2(x-y)+6]

=(x+y)(x-y+3)-2(x-y+3)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法五：『提取公因式法2』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y)(x-y)+(-2x+2y)+(3x+3y)-6

=(x+y)(x-y)-2(x-y)+3(x+y)-6

=(x-y)(x+y-2)+[3(x+y)-6]

=(x-y)(x+y-2)+3(x+y-2)

=(x+y-2)(x-y+3)

方法六：『雙十字相乘法』

解：x²-y²+x+5y-6

=(x+y-2)(x-y+3)

方法七：『歸零法』

解：令x=0，則

原式=-y²+5y-6=(-y+3)(y-2)

令y=0，則

原式=x²+x-6=(x+3)(x-2)

所以，原式=(x-y+3)(x+y-2)

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