三角形的角

內(nèi)角

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

因此推理可知，直角三角形的兩個(gè)銳角互余;一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角.

外角

三角形的外角和等于360°.

性質(zhì)：

1.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

2.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和他不相鄰的內(nèi)角

拓展：多邊形的角

內(nèi)角：

n邊形的內(nèi)角和為：(n-2)x180°(n≥3)，正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：(n-2)x180°÷n.

外角：

多邊形的外角和為360°;正多邊形的每個(gè)外角和度數(shù)為360°÷n.

三角形的

三線

高：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的高的垂足不一定落在三角形的邊上，有可能落在邊的延長(zhǎng)線上.

中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線

特殊

的三角形

等腰三角形

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形相，等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.

等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.(等邊對(duì)等角)

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線底邊上的高相互重合.

3.等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且等于45°.

判定方法：

1.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，及這個(gè)三角形為等腰三角形.(等角對(duì)等邊)

對(duì)于等腰三角形的問(wèn)題，我們?cè)谡f(shuō)角或邊時(shí)一般都要指明是頂角還是底角，是底邊還是腰?若是沒(méi)有說(shuō)明，則兩者都有可能需要分類(lèi)討論，這是解決等腰三角形問(wèn)題，最容易忽視和產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方.

等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.等邊三角形的內(nèi)心，外心，重心和垂心四心合一.

性質(zhì)：

1.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

2.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，三條對(duì)稱(chēng)軸相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱(chēng)為中心.

3.等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì),等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線“三線合一”.

判定方法：

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.三個(gè)角都是相等的，三角形是等邊三角形.

3.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

含30°角的直角三角形

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

全等

三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

全等符號(hào)用全等用符號(hào)“≌”表示，讀作：“全等于”，△ABC≌△A'B'C'讀作“三角形ABC全等于三角形A'B'C' ”.

全等三角形的性質(zhì)

1.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

2.全等三角形的周長(zhǎng)相等面積相等.

3.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線，角平分線，高線分別相等.

三全等三角形的判定定理

1. SSS(邊邊邊)

三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.

2. SAS(邊角邊)

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.

3. ASA(角邊角)

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.

4. AAS(角角邊)

兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.。

5. HL(斜邊、直角邊)

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.

三角形全等的判定方法的選擇

相似

三角形

性質(zhì)

1. 相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)邊的比對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

2. 相似三角形面積的比等于相似比的平方

相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

判定

1.預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

2.判定定理一：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

3.判定定理二：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

4.判定定理三：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

5.直角三角形相似的判定定理：一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.

兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

應(yīng)用

此類(lèi)題答題的核心就是要構(gòu)造相似三角形。

1.利用陽(yáng)光下的影子測(cè)量物體的高度

條件：參照物的高度，參照物的影長(zhǎng)，被測(cè)物體的影長(zhǎng).

原理：是同一時(shí)刻，同一地點(diǎn)，物高與影長(zhǎng)成比例.

公式：AB= DF/FE·BC

2.利用燈光下的影子測(cè)量路燈的高度。

條件：人的身高，人的影子長(zhǎng)，影子頂端到路燈底部的距離.

原理：人的身高，路燈的高度，人的影子長(zhǎng)，影子頂端到路燈底部的距離成比例.

公式：AB=CD/DE ·BE

3.利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度

條件：人的身高，人到物體的距離，人到標(biāo)桿的距離，標(biāo)桿的高度.

原理：構(gòu)造相似三角形，把被測(cè)物體分成兩部分求解.

公式：PB=BD/GD ·FG，PO=PB+AD

4.利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度

條件：人的身高，人到鏡子的距離，物體到鏡子的距離.

原理：根據(jù)入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形.

公式：AB=DE/EC ·BC

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