構造輔助線的常用方法

1.關于角平分線的輔助線

當題目的條件中出現角平分線時，要想到根據角平分線的性質構造輔助線。

角平分線具有兩條性質：

①角平分線具有對稱性;

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

關于角平分線常用的輔助線方法：

(1)截取構全等

如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點，F為OB上一點，若在OA上取一點E，使得OE=OF，并連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創造了條件。

例：

如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。

提示：

在BC上取一點F使得BF=BA，連結EF。

(2)角分線上點向角兩邊作垂線構全等

利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。

如下左圖所示，過∠AOB的平分線OC上一點D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。則有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

(3)作角平分線的垂線構造等腰三角形

如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個等腰三角形(△OEF)，垂足為底邊上的中點D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。

如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結為：“延分垂，等腰歸”。

例：

如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點。

求證：

DH=(AB-AC)提示：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。

(4)作平行線構造等腰三角形

分為以下兩種情況：

①如下左圖所示，過角平分線OC上的一點E作角的一邊OA的平行線DE，從而構造等腰三角形ODE。

②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點H，從而構造等腰三角形ODH。

2.由線段和差想到的輔助線

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：

①截長：

在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條;

②補短：

將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。截長補短法作輔助線。

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