因式分解的十二種方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)總結如下：

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

例1、 分解因式x -2x -x

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系,如果把乘法公式反過來,那么就可以用來把某些多項式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b

a +4ab+4b =(a+2b)

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,并提出公因式a,把它后兩項分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對于mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析：1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

對于那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù),然后進行因式分解,最后再轉(zhuǎn)換回來.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元,然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列,再進行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合,并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式,然后設出相應整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.

設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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