正數和負數

知識點1 正數和負數的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數，叫做正數，在小學學過的數，除0以外都是正數，正數比0大。

(2)像-3、-1.5、-1/2、-584等在正數前面加“-”(讀作負)號的數，叫做負數。負數比0小。

(3)零即不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。

注意：

(1)為了強調，正數前面有時也可以加上“+”(讀作正)號，例如：3、1.5也可以寫作+3、+1.5。

(2)對于正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶“+”號的數是正數，帶“-”號的數是負數。

不一定

例如：-a一定是負數嗎?答案是。因為字母a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則-a是負數;若a表示的是0，則-a仍是0;當a表示負數時，-a就不是負數了(此時-a是正數)。

正數、負數表示

正數和負數是根據實際需要而產生的，隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢?

正數和負數

我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的的量規定為負的，這樣就產生了。

用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規定為負。

有理數

知識點1 有理數的有關概念

有理數：整數和分數統稱為有理數。

注：(1)有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。

(2)因為分數與有限小數和無限循環小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限循環小數都看作分數。

(3)“0”即不是正數，也不是負數，但“0”是整數。

整數包括正整數、零、負整數。例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

分數包括正分數和負分數，例如：1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。

知識點2 有理數的分類

(1)按整數、分數的關系分類：

(2)按正數、負數與0的關系分類：

注：通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數(也叫做自然數)，負整數和0統稱為非正整數。

如果用字母表示數，則a>0表明a是正數;a<0表明a是負數;a≥0表明a是非負數;a≤0表明a是非正數。

知識點3 數軸

數軸是理解有理數概念與運算的重要工具，數與表示數的圖形(如數軸)相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩云：

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數缺形時少直覺，形少數是難入微。

數形結合百般好，隔裂分家萬事非。

切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離!

數與形的第一次聯姻——數軸，使數與直線上的點之間建立了對應關系，揭示了數與形的內在聯系，并由此成為數形結合的基礎。

1.數軸的定義：

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。

數軸的定義包含三層含義：

(1)數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸;

原點、正方向、單位長度

(2)數軸有三要素——，三者缺一不可;

(3)原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據實際需要“規定”的(通常取向右為正方向)。

2.數軸的畫法：

(1)畫一條直線(一般畫成水平的直線)。

(2)在直線上選取一點為原點，并用這點表示零(在原點下面標上“0”)。

(3)確定正方向(一般規定向右為正)，用箭頭表示出來。

(4)選取適當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……;從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為-1，-2，-3……

注：

(1)原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況適當選取;

(2)確定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……;從原點向左，依次表示為-2，-4，-6，……;

3.數軸上的點與有理數的關系：

所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。

4.利用數軸比較有理數的大小：

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0;負數都小于0;正數大于一切負數。

知識點4 相反數

1.相反數的定義

(1)相反數的幾何定義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。如，4與-4互為相反數。

(2)相反數的代數定義：只有符號不同的兩個數(除了符號不同以外完全相同)，我們說其中一個是另一個的相反數。

2.相反數的性質：

任何一個數都有相反數，而且只有一個。正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0。

0是唯一一個相反數等于本身的數。反之，如果a=-a，那么a一定是0.

3.相反數的特征：

若a與b互為相反數，則a+b=0(或a=-b)

若a+b=0(或a=-b)，則a與b互為相反數。

4.求一個數的相反數的方法：(見書)

5.多重符號的化簡

(1)在一個數的前面添上一個“+”號，仍然與原數相同，如+5=5，+(-5)=-5。

(2)在一個數的前面添上一個“-”號，就成為原數的相反數。如-(-3)就是-3的相反數，因此，-(-3)=3。

知識點5 絕對值的概念

1.絕對值的幾何定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，數a的絕對值記作“丨a丨”

2.絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。

知識點6 有理數大小的比較

正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

利用數軸，在數軸右邊的數永遠大于左邊的數。

有理數的加減法

有理數的加法

把兩個有理數合成一個有理數的運算叫做有理數的加法。

相加的兩個有理數有以下幾種情況：

(1)兩數都是正數;

(2)兩數都是負數;

(3)兩數異號，即一個是正數，一個是負數;

(4)一個是正數，一個是0;

(5)一個是負數，一個是0;

(6)兩個都是0。

知識點2 有理數加法法則

(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

(3)一個數同0相加，仍得這個數。

知識點3 有理數加法的運算定律

(1)加法交換律：a+b=b+a。

(2)加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

知識點4 有理數減法法則

減去一個數，等于加上這個數的相反數，即a-b=a+(-b)。

知識點5 有理數的加減混合運算

1.有理數加減法統一成加法的意義

對于有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法。

這樣一來，就將原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以后的式子是幾個正數或負數的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數和。

2.有理數加減混合運算的方法

(1)運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。

(2)運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。

有理數的乘除法

知識點1 有理數乘法法則

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。

知識點2 倒數的概念

乘積是1的兩個數互為倒數。

由于a×1/a(a≠0) ，所以當a是不為0的有理數時，a的倒數是1/a。若a、b互為倒數，則ab=1。

知識點3有理數乘法法則的推廣

(1)幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負;當負因數有偶數個時，積為正。

(2)幾個數相乘，只要有一個因數為0，積就為0。

知識點4 有理數乘法的運算定律

(1)乘法交換律：ab=ba。

(2)乘法結合律：(ab)c=a(bc)。

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac。

知識點5 有理數除法法則

(1)除以一個數等于乘以這個數的倒數。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。

知識點6 有理數的乘除混合運算

除轉乘，確定符號。

知識點7 有理數的四則混合運算

先乘除，后加減，如果有括號，就先算括號里面的。同級運算中，要按照從左到右的順序。

有理數的乘方

知識點1 有理數乘方的意義

知識點2 有理數乘方運算的性質

正數的任何次冪都是正數;負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。0的任何次冪都是0。

知識點3 有理數混合運算的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

知識點4 科學計數法

知識點5 研究近似數的意義

在生產實踐和實際生活中，不僅存在著大量的準確數，同時也存在著大量的近似數。近似數就是與實際接近的數。

出現近似數的原因有兩點：一是有時候不能得到完全準確的數，如太陽的半徑大約是696 000千米;二是有時也沒有必要弄得完全準確，如買10千克大米，有時可能多一點，有時也可能少一點。

知識點6 有效數字

四舍五入后的近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到精確到的數位止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字。

方法技巧1：

在只含有乘、除法的算式中，可以由“負”號的個數確定結果的符號。“負”號有奇數個時，結果為負;“負”號有偶數個時，結果為正。

方法技巧2：

分數、小數乘除混合運算，通常把小數化為分數，帶分數化為假分數。當把乘除都化成乘積的形式時，應先確定積和符號。含有多重括號，去括號的一般方法是由內向外，即依次去掉小、中、大括號，也可以由外到內。在進行混合運算時，要注意兩點：一是運算順序，二是運算符號。

方法技巧3：

靈活運用有理數的運算法則、運算律，適當地添加或去括號改變運算順序常可達到簡化運算的效果。湊整、分組、拆項、相消、分解相約、整體處理等是有理數運算常用的方法與技巧。

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