平均數

1、

①定義：一般的，如果有n個數x1x2x3… xn，則：

= (x1+x2+…+xn)÷n

②當一組數據x1x2 x3… xn各個數值較大時，可將數據同時減去一個適當的常數a ，得到：x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn=xn/-a則x拔= x拔/+ a

常數a通常取接近于這組數據的平均數(約略估計)的整數

③加權平均數：如果在n個數中，x1出現f1次，x2出現fk次，…… xk出現fn次(f1+f2+…+fk=n )則

=(x1f1+ x2f2+ x3f3+… +xkfk)÷n

2、

幾個概念：

①總體：考察對象的全體

②個體：每一個考察對象

③樣本：從整體中抽取的一部分個體叫總體的一個樣本

④樣本容量：樣本中個體得數目

⑤總體平均數：總體中所有個體的平均數

⑥樣本平均數：樣本中所有個體的平均數

例1：初三全年級4個班數學測驗平均成績分別是 x拔1x拔2x拔3x拔4則全年級平均成績是( x拔1+ x拔2+ x拔3+ x拔4)÷4 這種算法不一定正確

⑴當各班人數相同時算式成立

⑵當各班人數不同時算式不成立

例2：已知兩組數x1x2x3… xn和y1y2y3…yn的平均數分別x拔和 y拔，求：

⑴一組新數據8x1 +8x2 +8x3 +… + 8xn的平均數(8 x拔)

⑵一組新數據x1+ y1x2+ y2x3+ y3… xn+ yn的平均數

(答案：x拔+ y拔)

例3：一組數據的平均數能大于其中每個數據嗎?能大于除其中一個數據以外的所有數據嗎?(答案：不能;能，如6、2、2、2的平均數是3)

例4：某校錄取新生的平均成績是535分，如果某同學成績是539分，他肯定能被這所學校入取嗎?為什么?(不一定)

例5：為了解某地區初三年級男學生的體高，從初三學生中抽測500名男生的體高，在這個問題中，下面說法正確的有()個?

⑴總體是指該地區初三年級男生的全體

⑵個體是指該地區的每一位初三年級的男生

⑶樣本容量是500名

⑷樣本是指500名學生的體高

分析：因為本題考察對象是初三學生的體高，而不是學生，故⑴⑵都錯，又因為樣本容量是一個數，不帶單位，故⑶錯

例6：某襯衫店為了準確進貨，對一周內商店各種尺碼的男襯衫的銷售情況進行統計，結果如下：38碼的20件，39碼的23件，40碼的26件，41碼的25件、42碼的21件、43碼的18件。則該組數據中的眾數是，中位數是

(答案：眾數是40碼;第67件居中間，所以中位數是40碼。注意：不要答成眾數是26，眾數是出現次數最多的數據，而不是出現最多的次數)

例7、養魚專業戶為了估測魚的重量，撈出10條魚稱的其重量如下：480g 1條、490g 2條、500g 3條、520g 4條，求樣本平均數(答案：504g)

例8、為了估測湖里有多少魚，先捕上100條做上標記，然后放回湖里，過一段時間，等待標記的魚完全和魚群匯合后，再捕上200條，發現其中帶標記的魚有20條，湖里大約有多少條魚?(答案：x：100 = 200：20;1000條)

例9、當5個非負整數從小到大排列，其中位數是4，如果這組數據的唯一眾數是6 ，則這五個整數可能的最大和是多少?最小和是多少?(答案：21 ;17)

3、

概念：

⑴眾數：一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。

理解：注意出現次數最多的數據和出現次數最多次數兩種說法的不同

⑵中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫這組數據的中位數

⑶對眾數、平均數、中位數的理解：

①眾數說明了該數據出現的次數最多;中位數說明了該組數據以中位數為點將數據劃分為數據各占一半的兩部分。平均數反應了改組數據的平均值。

4、

中位數的找法：

給我們一組數組，將該數組由小到大排列，設數組的個數為n，

1、當n為奇數時，n÷2得一小數，用進一法取整數f，則，第f個數就是該數組的中位數。

2，當n為偶數時，n÷2得一整數m，第m和m+1個數的平均數就是該數組的中位數。

3、眾數、中位數、平均數從不同角度描述了一組數據的平均趨勢，其中，又以平均數應用最為廣泛

例1、判斷題：

⑴只要一組數據中有一個數字變動，那么平均數就一定會跟著變動(答案：對)

⑵平均數一定有現實意義(答案：錯)

⑶在一組數據中加入它的平均數，則新數據組中平均數不變

(答案：對)

例2、草地上有甲乙兩群人正在做游戲，甲群人的年齡分別是：12、12、12、13、14、15、16、16、27;乙群人的年齡分別是：3、4、4、5、5、6、6、6、55、60

⑴求出兩群人年齡的平均數、中位數、眾數

⑵甲乙兩群人年齡的平均數能代表他們各自年齡的特征嗎?若不能代表，那么哪個數據能代表?

⑶說明：一般地，在一組數據中數值特別大(或特別小)的數據看作異常數，在有異常數的數據中，平均數和中位數可能相差很大，此時用中位數來反映這組數據的一般水平比較合適

例3、劉曉和尹凱是學習上的競爭對手，階段考試成績先出了語、數、外三門，劉曉的平均分較尹凱高出2分，物理分出來時，尹凱的平均分反超過劉曉1分了，化學成績仍未出來

⑴在物理考試中，劉曉比尹凱低多少分?

⑵為保證自己的總平均分仍比尹凱多1分，劉曉的化學要比尹凱多多少分?

分析：⑴三門中劉曉高出6分，四門中劉凱高出4分，所以劉曉的物理比尹凱低10分;四門中劉曉比尹凱低4分，為保證劉曉比尹凱總平均分仍高1分，即總分多5分，所以劉曉的化學要比尹凱多9分

5、

方差：

⑴引入方差的目的：對于一組數據，除需要了解它們的一般水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數的大小)

⑵概念：設在一組數據x1、x2、…、xn中，各數據與它們的平均數的差的平方分別是(x1- x拔)2、(x2- x拔)2、…、(xn- x拔)2。那么，我們用它們的平均數來衡量這組數據的波動的大小，并把它叫做這組數據的方差

即：S2=[(x1-x拔)2+ (x2-x拔)2+ … + (xn- x拔)2]/n

⑶意義：一組數據的方差越大，這組數據的波動越大

⑷計算方差的兩個變形公式

⑴ S2=[(x12+ x22+ … + xn2) - n x拔2]/n

⑵若x1/=x1-a 、x1/=x2-a … xn/=xn-a( 其中, x1、x2、…、xn是原已知的n個數,a是接近這組數據的平均數的一個常數)則

S2=[(x1/2+ x2/2+ … + xn/2) - n x拔/2]/n

6、

標準差:

⑴概念:方差的算術平方根叫這組數據的標準差

⑵意義: 標準差也是用來衡量一組數據的波動大小的重要的量,標準差越大,數據的波動越大,反之亦然。

7、

方差、標準差綜合概括：

一般地，若一組數據x1、x2、…、xn的平均數為x拔，方差為S2，標準差為S ，則：

⑴數組：x1+ax2+a … xn+a的平均數為 x拔+a ，方差和標準差不變

⑵數組：kx1kx2… kxn的平均數為 kx拔，方差變為k2S2，標準差為kS

⑶數組：k x1+akx2+ a …kxn+a的平均數為kx拔+a，方差為k2S2，標準差為Ks

例1：對一組數：-2、-1、x、1、2，若x為不大于10的非負數，方差為整數，計算標準差

答案：根據S2=[(x12+x22+ …+xn2)-n2]/n 、 =x/5 、x=0或x=5 ∴S2=(10+4x2/5)/5 …

例2:已知S2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x30-5)2]/30 ，則各數據的平方和不可能等于①900 ②850 ③750 ④650

答案：∵S2=[(x12+x22+…+xn2)-n x拔2]/n

∴(x12+x22+…+xn2)-n x拔2≥0 故選④

8、

頻率分布

⑴組距：指每個小組的兩個端點之間的距離

分組數=(最大值-最小值)/組距

⑵頻數：把數據總數分成若干小組，落在各個小組內的數據的個數叫頻數

⑶頻率：每一小組的頻數與數據總數的比值叫這一小組的頻率

9、

畫頻率分布直方圖

⑴橫半軸：各組組距

縱半軸：頻率與組距的比。即 頻率/組距

⑵小長方形的高=頻率/組距=頻數/(數據總數×組距)

∵(1/數據總數×組距)為常數

∴小長方形的高與頻數成正比

⑶在頻率分布直方圖中,由于各小長方形的面積等于響應各組的頻率、而各組頻率的和等于1,因此, 各小長方形面積的和等于1

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