方程的有關概念

1. 方程：

含有未知數的等式就叫做方程。

2. 一元一次方程：

只含有一個未知數(元)x，未知數x的指數都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。

例如： 1700+50x=1800， 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。

3．方程的解：

使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

注：

(1) 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實質上是求得的結果，它是一個數值(或幾個數值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程。

(2)方程的解的檢驗方法，首先把未知數的值分別代入方程的左、右兩邊計算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結論。

等式的性質

等式的性質(1)：

等式兩邊都加上(或減去)同個數(或式子)，結果仍相等。

用式子形式表示為：如果a=b，那么a±c=b±c

等式的性質(2)：

等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等，用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。

移項法則

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

去括號法則

1. 括號外的因數是正數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號相同。

2. 括號外的因數是負數，去括號后各項的符號與原括號內相應各項的符號改變。

解方程的一般步驟

1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數)

2. 去括號(按去括號法則和分配律)

3. 移項(把含有未知數的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號)

4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)

5. 系數化為1(在方程兩邊都除以未知數的系數a，得到方程的解x=).

列一元一次方程解應用題的一般步驟

1.列方程解應用題的基本步驟

注意：

(1)初中列方程解應用題時，怎么列簡單就怎么列(即所列的每一個方程都直接的表示題意)，不用擔心未知數過多，簡化審題和列方程的步驟，把難度轉移到解方程的步驟上。

(2)解方程的步驟不用寫出，直接寫結果即可。

(3)設未知數時，要標明單位，在列方程時，如果題中數據的單位不統一，必須把單位換算成統一單位，尤其是行程問題里需要注意這個問題。

2.設未知數的方法

設未知數的方法一般來講，有以下幾種：

(1)“直接設元”：題目里要求的未知量是什么，就把它設為未知數，多適用于要求的未知數只有一個的情況。

(2)“間接設元”：有些應用題，若直接設未知數很難列出方程，或者所列的方程比較復雜，可以選擇間接設未知數，而解得的間接未知數對確定所求的量起中介作用。

(3)“輔助設元”：有些應用題不僅要直接設未知數，而且要增加輔助未知數，但這些輔助未知數本身并不需要求出，它們的作用只是為了幫助列方程，同時為了求出真正的未知量，可以在解題時消去。

(4)“部分設元”與“整體設元”轉換：當整體設元有困難時，可以考慮設其一部分為未知數，反之亦然，如：數字問題。

題型一：數字問題

(1)多位數字的表示方法：

一個兩位數的十位數字、個位數字分別為a、b，(其中a、b均為整數， 1≤a≤9，0≤b≤9)則這個兩位數可以表示為10a+b

一個三位數的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，(其中均為整數，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)則這個三位數表示為：100a+b+c

(2)奇數與偶數的表示方法：

偶數可表示為2k，奇數可表示為2k+1(其中k表示整數)

(3)三個相鄰的整數的表示方法：

可設中間一個整數為a，則這三個相鄰的整數可表示為a-1,a,a+1。

例1：一次數學測驗中，小明認為自己可以得滿分，不料卷子發下來一看得了96分，原來是由于粗心把一個題目的答案十位與個位數字寫顛倒了，結果自己的答案比正確答案大了36，而正確答案的個位數字是十位數字的2倍.正確答案是多少?

例2：某年份的號碼是一個四位數，它的千位數字是2，如果把2移到個位上去，那么所得的新四位數比原四位數的2倍少6，求這個年份。

題型二：日歷問題

(1)在日歷問題中，橫行相鄰兩數相差1，豎列相鄰兩數相差7.

(2)日歷中一個豎列上相鄰3個數的和的最小值時24，最大值時72，且這個和一定是3的倍數.

(3)一年中，每月的天數是有規律的，一、三、五、七、八、十、十二這七個月每月都是31天，四、六、九、十一這四個月每月都是30天，二月平年28天，閏年29天，所以，日歷表中日期的取值是有范圍的.

例3：下表是2011年12月的日歷表，請解答問題：在表中用形如下圖的平行四邊形框框出4個數，

(1)若框出的4個數的和為74，請你通過列方程的辦法，求出它分別是哪4天?

(2)框出的4個數的和可能是26嗎?為什么?

例4：如圖，框內的四個數字的和為28，請通過平移長方形框的方法，使框內的數字之和為68，這樣的長方形的位置有幾個?能否使框內的四個數字之和為49?若能，請找出這樣的位置;若不能，請說明理由.

題型三：和差倍分問題

和、差、倍問題關鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾.

(1)當較大量是較小量的幾倍多幾時

(2)當較大量是較小量的幾倍少幾時

例5：一部拖拉機耕一片地，第一天耕了這片地的;第二天耕了剩下部分的，還剩下42公頃沒耕完，則這片地共有多少公頃?

例6：牧羊人趕著一群羊尋找一個草長得茂盛的地方，一個過路人牽著一只肥羊從后面跟了上來，他對牧羊人說：“你趕的這群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果這群羊增加一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊一半的一半，連你這只羊也算進去，才剛好湊滿100只.”問牧羊人的這群羊共有多少只?

題型四：行程問題

1.行程問題

路程=速度×時間

相遇路程=速度和×相遇時間

追及路程=速度差×追及時間

2.流水行船問題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度-水流速度

水流速度=×(順流速度-逆流速度)

3.火車過橋問題

火車過橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意從車頭至橋起，到車尾離橋止，火車所行距離等于橋長加上車長，列車過橋問題的基本數量關系為：

車速×過橋時間=車長+橋長.

例7：有甲、乙、丙三人同時同地出發，繞一個花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙背向而行.甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米.出發后，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇，求花圃的周長.

例8：某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘，若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘，現在此人打算在火車開車前10分鐘到達火車站，則此人此時騎摩托車的速度應為多少?

例9：一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時，一天，小船從早晨6點由A港出發順流行至B港時，發現一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小時后找到救生圈.問：

(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小時?

(2)救生圈是何時掉入水中的?

題型五：工程問題

工作總量=工作時間×工作效率

各部分工作量之和=1

例10：有甲、乙、丙三個水管，獨開甲管5小時可以注滿一池水;甲、乙兩管齊開，2小時可注滿一池水;甲、丙兩管齊開，3小時注滿一池水.現把三管一齊開，過了一段時間后甲管因故障停開，停開后2小時水池注滿.問三管齊開了多少小時?

例11：檢修一住宅區的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天.前7天由甲、乙兩人合作，但乙中途離開了一段時間，后2天由乙、丙兩人合作完成，問乙中途離開了幾天?

題型六：商品銷售問題

在現實生活中，購買商品和銷售商品時，經常會遇到進價、標價、售價、打折等概念，在了解這些基本概念的基礎上，還必須掌握以下幾個等量關系：

利潤=售價-進價

利潤=進價×利潤率

實際售價=標價×打折率

例12：某商場經銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了，使得利潤增加了8個百分點，求經銷這種商品原來的利潤率。

例13：某商品月末的進貨價為比月初的進貨價降了8%，而銷售價不變，這樣，利潤率月末比月初高10%，問月初的利潤率是多少?

題型七：方案決策問題

在實際生活中，做一件事情往往會有多種選擇，這就需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用，到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，把每一種方案的結果先算出來，進行比較后得出最佳方案。

例14：某開發商進行商鋪促銷，廣告上寫著如下條款：

投資者購買商鋪后，必須由開發商代為租賃5年，5年期滿后由開發商以比原商鋪標價高20%的價格進行回購，投資者可在以下兩種購鋪方案中做出選擇：

方案一：投資者按商鋪標價一次性付清鋪款，每年可以獲得的租金為商鋪標價的10%.

方案二：投資者按商鋪標價的八五折一次性付清鋪款，2年后每年可以獲得的租金為商鋪標價的10%，但要繳納租金的10%作為管理費用.

(1)請問：投資者選擇哪種購鋪方案，5年后所獲得的投資收益率更高?為什么?(注：)

(2)對同一標價的商鋪，甲選擇了購鋪方案一，乙選擇了購鋪方案二，那么5年后兩人獲得的收益將相差5萬元.問：甲、乙兩人各投資了多少萬元?

例15：有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天王老師到達道口時，發現由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時，自己前面還有36個人等待通過，通過道口后，還需7分鐘到達學校.

(1)若繞道而行，要15分鐘到達學校。從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校還是選擇通過擁擠的道口去學校?

(2)若在王老師等人的維持下，幾分鐘后秩序恢復正常(每分鐘仍有3人通過道口)，結果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少?

題型八：配套問題

“配套”型應用題中有三組數據：

(1)車間工人的人數;

(2)每人每天平均能生產的不同的零件數;

(3)不同零件的配套比.

(利用(1)(3)得到等量關系，構造方程)

一般地說，(2)、(3)兩個數據可以預先給定.例如，在給出(2)、(3)兩組數據的基礎上，如何確定車間工人人數，使問題有整數解.

例16：某車間有28名工人，生產一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產螺栓12個或螺母18個，一個螺栓要配兩個螺母.第一天安排14名工人生產螺栓，14名工人生產螺母，問第二天應分配多少人生產螺栓、多少人生產螺母，才能使兩天總的生產效率最高?

例17：某車間有62個工人，生產甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產甲種零件12個或乙種零件23個.已知每3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產甲種零件，多少人生產乙種零件，才能使每天生產的這兩種零件剛好配套?

題型九：積分問題

比賽場數=勝的場數+平的場數+負的場數，比賽分數=勝場得分+平場得分負場扣分。

例18：足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分.一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現已比賽了8場，輸了一場，得17分.

(1)前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場?

(2)這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分?

(3)通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分，就可以達到預期目標.請你分析一下，在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標.

       編輯推薦：

       2023年中考各科目重點知識匯總

　　 歡迎使用手機、平板等移動設備訪問中考網，2025中考一路陪伴同行！>>點擊查看