1三角形的有關概念和性質

1.1三角形的內角和

在同一平面內,由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內角,簡稱多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做多邊形的外角.

三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180

在原來圖形上添畫的線叫做輔助線

依據三角形內角的特征,對三角形進行分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形;有一個角是直角的三角形叫做直角三角形;有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形;銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形.

在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對邊叫做斜邊.

推論1直角三角形的兩個銳角互余

推論2三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

1.2三角形的有關線段

三角形一個角的平分線和對邊相交,角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線

連接三角形的一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線

從三角形的一個頂點向其對邊或對邊的延長線畫垂線,頂點和垂足間的線段叫做三角形的高

2全等三角形

2.1全等三角形的證明

邊邊邊有三邊對應相等的兩個三角形全等

邊角邊有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等

角邊角有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等

定理有兩角及其其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等

2.2直角三角形全等的判定

定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等

3等腰三角形

3.1等腰三角形及其性質

三角形的三邊,有的三邊互不相等,有的有兩邊相等,有的三邊都相等.三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形,有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角

定理等腰三角形的底角相等

推論等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形

定理一個三角形是等腰三角形的充要條件是這個三角形有兩個內角相等

等邊三角形定理1等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60

等邊三角形定理2三個角都相等的三角形是等邊三角形

等邊三角形定理3有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形

3.2線段的垂直平分線與角平分線

定理線段的垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

定理和一條線段兩個端點距離相等的點,都在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可以看成是所有和線段兩段距離相等的點的集合

定理點在角平分線上的充要條件是這一點到這個角兩邊的距離相等

角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

3.3軸對稱

定義如果點A,B在直線l的兩側,且l是線段AB的垂直平分線,則稱點A,B關于直線l互相對稱,點A,B互稱為關于直線l的對稱點,直線l叫做對稱軸

定義在平面上,如果圖形F的所有點關于平面上的直線l成軸對稱,直線l叫做對稱軸

定義在平面上,如果存在一條直線l,圖形F的所有點關于直線l的對稱點組成的圖形,仍是圖形F自身,則稱圖形F為軸對稱圖形,直線l是它的一條對稱軸

定理(1)對稱軸上的任意一點與一對對稱點的距離相等(2)對稱點所連線段被對稱軸垂直平分

推論兩個圖形如果關于某直線稱軸對稱,那么這兩個圖形是全等形

3.4三角形中的不等關系

定理三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角

定理三角形任何兩邊的和大于第三邊

推論三角形任何兩邊的差小于第三邊

定理在一個三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角較大

定理在一個三角形中,如果兩個角不等,那么它們所對的邊也不等,大角所對的邊較大

在一個三角形中,一條邊大于另一條邊的充要條件是,這條邊所對的角大于另一條邊所對的角

4直角三角形

4.1勾股定理逆定理

勾股定理逆定理如果三角形的三邊長a,b,c滿足條件a+b=c,那么c所對的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性質

定理在直角三角形中,如果一個瑞角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

4.3直角三角形斜邊上中線的性質

定理在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半

5基本作圖

5.1基本作圖

5.1作三角形

5.3軌跡與反證法

我們把物體按某種規律運動的路線叫做物體運動的軌跡

我們就把一個點在空間按某種規律運動的路線,叫做這個點運動的軌跡,這個點就叫做動點

定義具有性質a的所有點構成的集合,叫做具有性質a的點的軌跡

軌跡具有純粹性和完備性

基本軌跡1與兩個已知點距離相等的點的軌跡是連結這兩點的線段的垂直平分線

基本軌跡2與已知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

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