三角形的三邊關系

三角形三邊的關系，是在學生初步了解了三角形的定義的基礎上，進一步研究三角形的特征，從中我們不僅能夠了解三角形三邊之間的大小關系，也提供了判斷三條線段能否組成三角形的標準。

三角形的三邊關系：

三角形任意兩邊的和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

常見應用類型

類型一：判斷三條線段能否組成三角形

根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析。判斷能否組成三角形的簡便方法是：看較小的兩個數的和是否大于第三個數。

下列長度的三條線段能組成三角形的是( )

A.1，2，3 B.5，4，2 C.2，2，4 D.4，6，11

【分析】根據三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行分析.

【解答】解：根據三角形的三邊關系，知

A、1+2=3，不能組成三角形，故A錯誤;

B、2+4>5，能夠組成三角形;故B正確;

C、2+2=4，不能組成三角形;故C錯誤;

D、6+4<11，不能組成三角形，故D錯誤.

故選：B。

類型二：求三角形第三邊的長或取值范圍

根據三邊關系確定某一邊的取值范圍，一般題目中會給出其他兩邊的大小，需要注意的是結合實際問題的運用，比如：人數組成三角形中的隱含條件，數字必須是正整數。

一個三角形的兩邊長分別為5cm和3cm，第三邊的長是整數，且周長是偶數，則第三邊的長是( )

A.2cm或4cm B.4cm或6cm

C.4cm D.2cm或6cm

【分析】可先求出第三邊的取值范圍.再根據5+3為偶數，周長也為偶數，可知第三邊為偶數(偶數+偶數=偶數)，從而找出取值范圍中的偶數，即為第三邊的長.

【解答】解：設第三邊長為x，

則5﹣3

又x為偶數，

因此x=4或6，

故選：B。

類型三：解答等腰三角形相關問題

考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，一般沒有明確腰和底邊的題目，一定要想到兩種情況，進行分類討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵。

已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為( )

A.11 B.16 C.17 D.16或17

【分析】分6是腰長和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關系判斷，然后根據三角形的周長的定義列式計算即可得解.

【解答】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長=6+6+5=17;

②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長=6+5+5=16，

綜上所述，三角形的周長為16或17，

故選：D。

類型四：三角形的三邊關系在代數中的應用

三角形的三邊關系在代數中的應用主要考察化簡求值、絕對值的性質、整式的加減的綜合應用。去絕對值時，主要判斷三邊的運算和“0”的關系，從而達到化簡的目的。

已知a，b，c是一個三角形的三條邊長，化簡：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|.

【分析】根據三角形三邊關系得到a﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，再去絕對值，合并同類項即可求解.

【解答】解：∵a，b，c是一個三角形的三條邊長，

∴﹣b﹣c<0，b﹣a﹣c<0，c﹣a+b>0，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a+b|

=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a﹣b

=a﹣b+c.

故答案為：a﹣b+c.

類型五：利用三角形的三邊關系說明邊的不等關系

考查三角形邊的不等關系時，主要考察題型為證明題和填空題，主要是通過三邊關系確定結論的正確性，需要注意的是等式的變形中正負性。

如圖，已知D、E是△ABC內的兩點，問AB+AC>BD+DE+EC成立嗎?請說明理由.

【分析】結合圖形，反復運用三角形的三邊關系：“兩邊之和大于第三邊”進行證明。

【解答】答：成立;

證明：延長DE交AB于點F、延長DE交AC于G，

在△AFG中：AF+AG>FG①，

在△BFD中：FB+FD>BD②，

在△EGC中：EG+GC>EC③，

∵FD+ED+EG=FG，

∴①+②+③得：

AF+FB+FD+EG+GC+AG>FG+BD+EC，

即：AB+FD+EG+AC>FG+BD+EC，

AB+AC>FG﹣FD﹣EG+BD+EC，

∴AB+AC>BD+ED+EC。

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