反比例函數(shù)在初中數(shù)學(xué)的函數(shù)學(xué)習(xí)中，占據(jù)著較為重要的位置。下面我們來(lái)梳理一下有關(guān)反比例函數(shù)的知識(shí):

反比例函數(shù)的基本內(nèi)容

定義:

如果兩個(gè)變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y=k/x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。函數(shù)表達(dá)式為：

◆ y=k/x

◆ y=kxˉ1

◆ xy=k

注意：反比例函數(shù)成立的條件是：k為常數(shù)且k≠0。該條件同時(shí)成立，同學(xué)在解題過(guò)程中往往容易忽視其成立條件，從而在取值范圍的確定中易出錯(cuò)。

函數(shù)的增減性:

當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大。

性質(zhì)：

(1)反比例函數(shù)上任何一點(diǎn)與軸線圍城的直角三角形面積都相等|k|/2;

(2)圖像上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積等于直角梯形的面積;

(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交時(shí)，存在線段相等的關(guān)系，坐標(biāo)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的關(guān)系;

(4)反比例與一次函數(shù)有交點(diǎn)時(shí)，可以聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)(二次聯(lián)立可以求一元二次方程，反映方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題)。

反比例函數(shù)常考題型

結(jié)合近幾年的考情分析，反比例函數(shù)往往出現(xiàn)在填空題和解答題中，其出題類型一般與一次函數(shù)、三角函數(shù)、相似、全等、圓等相結(jié)合，成為學(xué)生的“一大障礙”，但是其單獨(dú)出題時(shí)，相對(duì)簡(jiǎn)單。

判斷函數(shù)圖像

① 看系數(shù)：一次函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)a;

注意：若一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)與反比例函數(shù)的反比例系數(shù)正負(fù)相同，直線與雙曲的兩支都有交點(diǎn)。

② 找矛盾：通常需要運(yùn)用排除法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得到正確答案。反比例函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)，因此常從反比例函數(shù)的圖象入手進(jìn)行判斷。如果a>0，反比例函數(shù)圖像在第一、三象限，如果a<0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限。

注意：當(dāng)反比例函數(shù)與其他函數(shù)相結(jié)合出題時(shí)，需要再判斷其他函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限就可確定其函數(shù)圖像。

求解析式一般需要求出函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，函數(shù)解析式上有幾個(gè)未知數(shù)，就要找?guī)讉�(gè)點(diǎn)。

函數(shù)圖像繪制步驟：列表---描點(diǎn)---連線

(1)列表取值時(shí)，x≠0，因?yàn)閤=0函數(shù)無(wú)意義，為了使描出的點(diǎn)具有代表性，可以以“0”為中心，向兩邊對(duì)稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便于求y值。

(2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，盡量多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，從而便于連線，使畫出的圖象更精確。

(3)連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線。

因?yàn)榻馕鍪街校瑇不能為0，所以y也不能為0，反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，但隨著x無(wú)限增大或是無(wú)限減少，函數(shù)值無(wú)限趨近于0，故圖像無(wú)限接近于x軸。

涉及交點(diǎn)情況

■ 找交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)：已知交點(diǎn)的某一橫坐標(biāo)，代入即可求出其縱坐標(biāo)，反之亦然;當(dāng)要求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，將反比例函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程組，進(jìn)行求解;

■ 求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)：將一次函數(shù)和反比例函數(shù)聯(lián)立方程組的解的個(gè)數(shù)就是交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

■ 求解析式：求解析式一般需要函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)，函數(shù)圖像上有幾個(gè)未知數(shù)，一般需要找?guī)讉�(gè)點(diǎn)。反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用中，通常尋找交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出解析式并分別求得解析式中的常數(shù)值。

涉及面積的運(yùn)用

坐標(biāo)系中的圖形面積問(wèn)題最基本的圖形為三角形，解答核心是要把點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度。

▼ 若三角形有一邊在坐標(biāo)軸上，通常以這條邊作為三角形的底邊。

▼ 三邊都不在坐標(biāo)軸上，需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)。

▼ 在前文性質(zhì)1和2中，我們提到有關(guān)反比例函數(shù)面積的性質(zhì)，此外，我們需要了解的是有關(guān)反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)且k≠0)中|k|的幾何意義：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積為|k|。

▼ 如果題目中給出線段比例和四邊形的面積求k問(wèn)題，利用同底等高三角形面積與高之間的關(guān)系，以及面積與k之間的關(guān)系，求出k。

注意：反比例函數(shù)圖象是一種特殊的圖形，它的兩個(gè)分支既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線Y=X、Y=-X對(duì)稱，因此我們做題時(shí)要充分利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)解題。

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