一次函數的基本內容

兵馬未動，糧草先行。認識一次函數，首先得從基礎抓起，概念理解不透徹，知識掌握不牢固，做起題目來必然也會磕磕碰碰，不得其解。

1、表達式：

一般地，形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數。

(當b=0時，y=kx+b即y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數)

一次函數一般形式 y=kx+b成立的條件：

● k不為零

● x指數為1

● b取任意實數

2、函數圖象：

(1)一次函數y=kx+b的圖象是經過(0，b)和(-b/k，0)兩點的一條直線，我們稱為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到。

(2)走向：k>0，圖象經過第一、三象限;k<0，圖象經過第二、四象限;b>0，圖象經過第一、二象限;b<0，圖象經過第三、四象限。

3、增減性：

k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小。

總結：

(1)k>0且b>0 直線經過第一、二、三象限，y隨x的增大而增大。

(2)k>0且b<0 直線經過第一、三、四象限，y隨x的增大而增大。

(3)k<0且b>0 直線經過第一、二、四象限，y隨x的增大而減小。

(4)k<0且b<0直線經過第二、三、四象限，y隨x的增大而減小。

4、圖像的平移：

遵循“上加下減，左加右減”的原則：

當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位;

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位。

5、一次函數的對稱

若兩函數關于x軸對稱，則y=kx+b變成y=-kx-b，交點為(-b/k，0);

若兩函數關于y軸對稱，則y=kx+b變成y=-kx+b，交點為(0，b);

若兩函數關于x=n對稱，則y=kx+b變成y=-kx+2nk+b，交點為(n，kn+b);

若兩函數關于y=n對稱，則y=kx+b變成y=-kx+(2n-b)，交點為[(n-b)/k，n];

若兩函數關于原點對稱，則y=kx+b變成y=kx-b，無交點。

一次函數的應用

一次函數的應用題，信息量大，綜合性強，不僅僅考察了一次函數的圖像及性質，還考察了閱讀理解能力及構造方程的能力等，對于初學者來說，無疑是一個難點。一、一次函數圖象的基本應用

我們需要知道：任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值。從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值。

當需要利用函數和函數圖象比較數的大小，主要有三種方法：

(1)直接把x值代入函數關系式，求出相應的y值，比較數的大小;

(2)在函數圖象上描出各點，再根據各點的位置情況，比較數的大小;

(3)利用函數的增減性，比較數的大小。

涉及一次函數的圖像的相關題目，需要充分運用數形結合的思想，對其單調性、經過的象限，交點等知識點進行考察，這類題目的難易程度一般，基本在選擇題和填空題出現。

二、待定系數法求函數解析式

確定函數解析式的一般步驟：

(1)根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式;

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程;

(3)解方程得出未知系數的值;

(4)將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式。

三、一次函數的綜合考察

在初中的數學學習中，一次函數與反比例函數、二次函數相結合的題目出現較多，這些題型綜合考查一次函數、反比例函數、二次函數等的知識，還能夠與其他知識結合起來。解題時，涉及交點時要注意充分應用交點在兩個函數的圖象上的條件。

例如：涉及一次函數與一元一次不等式的知識點，可以將一元一次不等式轉化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大(小)于0時，求自變量的取值范圍。

課堂總結

1、解決一次函數應用問題的步驟：

◆分析問題：

(1)借助圖、表等手段分析題目中的數量關系，從而確定函數解析式;

(2)根據函數圖像獲取信息，分析數量關系。

◆確定模型：根據獲取到的信息確定一次函數模型。

◆解決問題：根據題目中的數量關系或者數學模型，將具體數字代入，從而解決問題。

2、注意事項：■ 對于有圖象的應用題，首先從函數的圖像入手，搞清楚函數圖像的實際意義，把那些關鍵的點，線給求出來，往往能夠起到事半功倍的效果。

■ 搞定了圖象，再看題目的關鍵信息，許多問題就迎刃而解。

■ 對于沒有圖象的應用題，一邊讀題，一邊將關鍵的數據及數據之間的關系羅列出來——通過讀題把文字語言翻譯成數學語言。

課后練習

已知A、B兩地之間的筆直公路上有一處加油站C(靠近B地)，一輛客車和一輛貨車分別從A、B兩地出發，朝另一地前進，兩車同時出發，勻速行駛.如圖所示是客車、貨車離加油站C的距離y₁，y₂(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數關系圖像。

(1)求客車和貨車的速度;

(2)圖中點E代表的實際意義是什么，求點E的橫坐標。

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