一、 基本內容

在初中數學階段，函數主要指：一次函數、反比例函數、二次函數，而我們對于函數的考察主要集中在對函數圖像與在實際問題中的函數。本文目的就是在于交流，教師應該講授這些知識，換句話說，就是我們在傳授這些知識時

，應該對它進行怎么樣的加工。

總的來說，就是把圖像問題與系數聯系起來，并且通過動態的觀察，讓學生明白不同系數在不同函數中的幾何意義;形成通過系數來研究圖像的思維方式。

二、 幾點原則

在教學中，我個人通過對不同的學生的一對一輔導，發現了在教學過程不少需要注意的誤區：

1.避免死記硬背。數學里死記硬背還是很奇怪的一件事，不過我們來看下浙教版的教科書：

浙教版八年級上·一次函數的圖像

圖中的黑體字是本書中，第一次直接寫出有關于k與圖像的關系有關的結論。因此，很多學生在提到這個問題的時候，都會完整的背一遍這句話，誠然這種做法短期內沒有太大危害，甚至可以說通過大量的題型訓練遲早會掌握，但是這顯然沒有讓學生產生比較好的理解，對于之后的學習并沒有好處。而很多學校的學生教科書上，我甚至看到了老師讓學生背的好幾句話，例如：“k>0，b>0，過一、二、三象限”，這樣的句子。有意思的是，老師忘記寫b=0的情況，不少學生只要你一問他b=0圖像過哪幾個象限，會立刻發懵，稍微想一想才反映過來，那就是正比例函數了，但是這樣的學生會在正比例函數是不是一次函數的問題上，再度發懵。

2. 講解時多用中文術語。這是個小細節，不注意的話對于大部分學生其實沒有影響。但是如果題目中出現了：y=bx+k，有一部分學生會發昏的。推薦用：斜率、截距這兩個詞。不用深刻的理解，斜率讓學生暫時理解成，一次函數一般式中x的系數;截距指的是一般式中的常數項。其實這兩個名詞很巧妙，斜率這一個詞基本解釋了k的幾何意義，對后續學習也有好處。

3.盡量用動態演示。不需要做一個很專業的動畫軟件，其實用幾何畫板就可以動態演示，操作也很簡單。動態的演示不僅僅是有利于學生的記憶，它可以讓知識形象化。“傾斜程度大圖像，k的絕對值也越大”，這句話基本不會默寫，但是從自然語言轉化的數學與語言，再轉化成圖像還是很麻煩的。我在課上通過拖動k值演示一下，學生的語言很不規范，但是基本可以說出k如果變大會怎么“轉”，變小怎么“轉”。在學生腦海中出現的是一副動態圖，語言反過來只是表達。如果對于學有余力的學生，你甚至可以問一句，繞著誰轉呢[(0,b)]。

接下來我以一次函數為例說一說，這一堂課，在上述原則下我們應該怎么講，講什么。

三、 以一次函數為例

(一)教科書中的暗示

接著上面的例子，單調性真的是本書第一次提及函數圖像與系數的關系嗎?答案是否定的，在前一部分的練習中，有這么一道題：

仔細觀察一下，會發現這道題的數字出的很有特點顯然是要讓學生找規律了，而問題是與坐標軸的交點，那么我們不妨先把斜率放下，相比于與x軸的交點，與y軸的交點在這題是很直觀的。為什么后兩幅圖像與y軸交點是一樣的?他們什么是一樣的，什么不一樣?與y軸的交點可能與什么有關?

這里就首先出現了對截距的知識，教師必須在這里提及誰決定了與y軸的交點。此處的提及要強調兩點：第一，與y軸交點就是(0，b)，截距就是與y軸交點的縱坐標;第二，與斜率沒有任何關系，與y軸的交點與k值無關。第二點尤其重要，這讓k與b的分工徹底區分開，表示了b決定了圖像的位置，k不決定位置。如果聯想到二次函數，會發現很類似的結論，與拋物線形狀有關的其實只有a，b、c都在一定程度上影響了拋物線的位置，這點在復習的時候很好用。

(杭州英特外國語學校初中數學九年級上2017年第三次月考)例題：在同一坐標平面內，圖象不可能由函數y=2x2+1的圖象通過平移變換、軸對稱變換得到的函數是(　　)

A.()﹣y=2(x+1)2﹣1B.y=2x2+3

C.y=−2x2−1D.y=12x2−1

同時，這也就解釋了為什么b=0的時候會過原點，在演示中，教師保持k不變，學生就可以輕易的看出，隨著b的變化，直線是在上下平移的。而后才出現了單調性的結論。如果說前一個問題解決了b的幾何意義，那么這里就是要解決k的幾何意義。也就給出了我們教學的基本思路：

1. k和b應該分開理解，讓學生了解它們各自的分工，并且互不干擾。

2. 從難易程度上來說b相對簡單，應該先講b再講k。

因此這一堂課其實只有兩個點：k決定了直線的傾斜角度，b決定了圖像的位置。

(二)k的教法

在講解完截距后，k其實就相對好講，引入也很簡單：“b決定了圖像與y軸的交點，那么k決定了什么呢?”這里大可以讓學生猜一猜，會有猜與x軸交點的，這其實也不算錯，之后可以作為一個補充結論，不過意義不太大。

在這里可以動態演示，當截距不變時，k上下變化圖像會如何變化?從感覺上來看，學生都會發現是在繞著一個點旋轉，可以問一句這個點是什么?(0，b)，這也算驗證了之前的所學，這里可以讓學生自己描述自己的看法，教師要聽到聯系性的描述。不一定是非常準確的描述，要聽到k變大變小時，圖像會如何變化這樣發現數字和圖像直接因果關系的句子就算成功。那么我們要總結出三個結論：

1. k的正負與圖像的上升和下降。僅僅依靠這個，就可以與之前的知識結合起來解決一些題型了：

例題：直線y=kx+b經過一、三、四象限，則直線y=bx-k的圖象只能是圖中的( )

一次函數的位置與系數的關系

不要讓學生去記復雜的東西，把情況只分成兩類k的正負與上升和下降，不然過段時間不用絕對會忘。

2. 上升下降與k的正負，反過來也可以快速說出。這點就不多做解釋，b的正負問題可以一起解決。

3. 傾斜程度與k的大小問題。有的老師會問，記得k大于0一定過一、三，反之一定過二四，不演示行不行。肯定是不合適的，比如：

k與傾斜角

例題：如圖，三個正比例函數對應的解析式為①y=ax;②y=bx;③y=cx，則a、b、c的大小關系是( )

A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a

此處一定要強調傾斜角度指的是與x軸的夾角，夾角越大k的絕對值越大。這道題很適合拿來做，因為學生可能會在③這條線上出錯，此時它的k是負數，肯定是最小的。

在最后一定要反過來強調，斜率只決定了傾斜角度，截距只決定了位置，關鍵在于“只”，它是讓問題簡單化的關鍵。

(三)為什么這樣教

1. 這種方式在我實踐下來基本所有學生都可以理解，相比于死記硬背，這也是效率明顯比較高的方式。

2. 對后續的教學有利。實際上，我們這一課之后會涉及到平移的有關問題，在這種k和b完全分開的教學后，平移我們起碼可以讓學生明白，k是一定不會變的。如：

例題：如果直線y=m2x+m−1是由直線y=x平移得到的不同直線，那么是經過怎么樣的平移得到的?

而這之后，我們也可以方便的通過圖像向學生解釋，為什么增減性問題只與k有關，因為k決定了上升或者下降，b只決定了圖像位置。

另一方面，其中將各個系數分開理解的理解方式，對后續二次函數的教學會有好處。

3.兼顧到了優等生。在習題中，我們可以以此為基礎，夾雜難度比較高的題型，補充一些難度高，教材中不要求掌握的知識點如：

(1)兩直線平行的條件：k相等b不等。

(2)兩直線垂直的條件探究：斜率互為負導數。

(3)一些利用幾何意義解決的難題：

例題：已知A(3，5)，B(5，4)，若直線y=kx-2k與線段AB有交點，那么k的取值范圍是_________.

比如上題就是利用過定點(2，0)，只要考慮k剛好交于A、B點的情況，就可以判斷出k的范圍。

四、 其他函數的要點一覽

(一)反比例函數

1. k的正負決定了象限

2. k的絕對值大小決定了圖像與原點的距離，例題：

(2010大港區一模)如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=kx(k≠0)與△ABC有交點，則k的取值范圍是____________________-.

3. 雙曲線上任意一點向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸圍成的矩形面積為|k|.

例題：在平面直角坐標系中，A，B是反比例函數y=4x在同一支上的不同兩點，過A，B分別向x軸y軸作垂線，垂足為E、F，求證：EF∥AB.

(二)二次函數

1. 一般式、頂點式、交點式的a(二次項系數)意義相同，都決定了開口大小和方向。A的絕對值越大開口越小。

2. 在頂點式中，可以直接讀出頂點坐標以及對稱軸

3. 在一般式中：(1)c是截距(2)b有左同右異(3)頂點坐標公式

4. 在交點式中，可以直接讀出與x軸的交點，以及知道怎么樣計算對稱軸位置。

5. 了解Δ的數性與圖像的關系，(1)Δ>0，與x軸有兩個交點;(2)Δ=0與x軸有一個交點;(3)Δ小于0與x軸無交點

*6.a+b+c與a-b+c分別是x=1和x=-1時的y值。

五、結語

本文只討論怎么樣把有關函數圖像的知識點講精，所以很多考點比如利用二次函數解決最值問題，不是不重要，而是不在本文的討論范圍內。我最想寫的東西，是想表明，如果一個教師想完成教科書上的目標，那么我們有哪些東西要講透。這次列舉的浙江版教科書，很多東西在參考用書上可能會寫，但對于年輕教師來說，其實最大的難點在于要講什么。講題目容易，講課難。

課本上好像就那么點東西，有時候覺得學生自己看書都能看懂。我覺得不是這樣的，老師還是要把學生想得笨一點，書本如果說是告訴了學生“是這么一回事“，教師的工作就是告訴學生”怎么理解這個內容“”為什么會這樣“”怎么樣在你的記憶中去編排它“。按照我的恩師的說法，一個教師的水平，就體現在怎么把復雜的東西說得簡單，很多學生搞不懂函數，其實這就是老師沒抓住函數的本質。一次函數就學兩個字母k和b。我們的任務不是把題型分化，而是把所有題型都轉化成k和b兩個問題。要讓學生覺得原來所有的題目都是一個樣子，”萬變不離其宗“。

我不太寫這些東西，水平也有限的很，不過很高興的是，之前發的文章雖然沒什么反響，但是也有幾個跟我一樣對教學有興趣的年輕老師想法兒加了我微信，想有時候探討一下教學。若要說我有什么想做的，就是盡可能多的預見更多同好，沒有太多想法，就是想知道怎么把課上好，互相交流經驗。同志雖少，但總聊勝于無。

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