一、工程問題

列方程解應用題是初中數學的重要內容之一，其核心思想就是將等量關系從情景中剝離出來，把實際問題轉化成方程或方程組， 從而解決問題。

列方程解應用題的一般步驟(解題思路)

(1)審——審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關系(找出等量關系).

(2)設——設出未知數：根據提問，巧設未知數.

(3)列——列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程.

(4)解——解方程：解所列的方程，求出未知數的值.

(5)答——檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案.(注意帶上單位)

【典型例題】

例1 將一批數據輸入電腦，甲獨做需要50分鐘完成，乙獨做需要30分鐘完成，現在甲獨做30分鐘，剩下的部分由甲、乙合做，問甲、乙兩人合做的時間是多少?

解析：首先設甲乙合作的時間是x分鐘，根據題意可得等量關系：甲工作(30+x)分鐘的工作量+乙工作x分鐘的工作量=1，根據等量關系，列出方程，再解方程即可.

設甲乙合作的時間是x分鐘，由題意得：

【方法突破】

工程問題是典型的a=bc型數量關系，可以知二求一，三個基本量及其關系為：

工作總量=工作效率×工作時間

需要注意的是：工作總量往往在題目條件中并不會直接給出，我們可以設工作總量為單位1。

二、比賽計分問題

【典型例題】

例1某企業對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了 多少道題。

解：設這個人選對了x道題目，則選錯了(45-x)道題，于是

3x-(45-x)=103

4x=148

解得 x=37

則 45-x=8

答：這個人選錯了8道題.

例2某校高一年級有12個班.在學校組織的高一年級籃球比賽中，規定每兩個班之間只進行一場比賽，每場比賽都要分出勝負，每班勝一場得2分，負一場得1分.某班要想在全部比賽中得18分，那么這個班的勝負場數應分別是多少?

因為共有12個班，且規定每兩個班之間只進行一場比賽，所以這個班應該比賽11場，設勝了x場，那么負了(11-x)場，根據得分為18分可列方程求解.

【解析】

設勝了x場，那么負了(11-x)場.

2x+1•(11-x)=18

x=7

11-7=4

那么這個班的勝負場數應分別是7和4.

【方法突破】

比賽積分問題的關鍵是要了解比賽的積分規則，規則不同，積分方式不同，常見的數量關系有：

每隊的勝場數+負場數+平場數=這個隊比賽場次;

得分總數+失分總數=總積分;

失分常用負數表示，有些時候平場不計分，另外如果設場數或者題數為x，那么x最后的取值必須為正整數。

三、順逆流(風)問題

【典型例題】

例1 某輪船的靜水速度為v千米/時，水流速度為m千米/時，則這艘輪船在兩碼頭間往返一次順流與逆流的時間比是( )

【方法突破】

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜水速)不變的特點考慮相等關系.即順水逆水問題常用等量關系：順水路程=逆水路程.

順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度

逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度

水流速度=(順水速度-逆水速度)÷2

四、調配問題

【典型例題】

例1 某廠一車間有64人，二車間有56人.現因工作需要，要求第一車間人數是第二車間人數的一半.問需從第一車間調多少人到第二車間?

解析：如果設從一車間調出的人數為x，那么有如下數量關系

設需從第一車間調x人到第二車間，根據題意得：

2(64-x)=56+x，

解得x=24;

答：需從第一車間調24人到第二車間.

五、連比條件巧設x

【典型例題】

例1. 一個三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長.

解析：設三邊長分別為2x，3x，4x，根據周長為36cm，可得出方程，解出即可.

設三邊長分別為2x，3x，4x，

由題意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4.

故三邊長為：8cm，12cm，16cm.

【方法突破】

比例分配問題的一般思路為：設其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應的代數式。

常用等量關系：各部分之和=總量。

六、配套問題

【典型例題】

例1 包裝廠有工人42人，每個工人平均每小時可以生產圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶，問每天如何安排工人生產圓形和長方形鐵片能合理地將鐵片配套?

解法1：可設安排x人生產長方形鐵片，則生產圓形鐵片的人數為(42-x)人，根據兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶可列出關于x的方程，求解即可.

設安排x人生產長方形鐵片，則生產圓形鐵片的人數為(42-x)人，由題意得：

120(42-x)=2×80x，

去括號，得5040-120x=160x，

移項、合并得280x=5040，

系數化為1，得x=18，

42-18=24(人);

答：安排24人生產圓形鐵片，18人生產長方形鐵片能合理地將鐵片配套.

解法2：若安排x人生產長方形鐵片，y人生產圓形鐵片，根據共有42名工人，可知x+y=42.再根據兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程組求解。

設安排x人生產長方形鐵片，y人生產圓形鐵片，則有

答：安排24人生產圓形鐵片，18人生產長方形鐵片能合理地將鐵片配套.

七、日歷問題

八、利潤及打折問題

【典型例題】

例1：(2016•荊州)互聯網“微商”經營已成為大眾創業新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為(　　)

A.120元 B.100元

C.80元 D.60元

分析：設該商品的進價為x元/件，根據“售價=進價+利潤”即可列出關于x的一元一次方程，解方程即可得出結論.

解：設該商品的進價為x元/件，

依題意得：(x+20)=200×0.5，

解得：x=80.

∴該商品的進價為80元/件.[來源:http://Zxxk.Com]

故選C.

【方法突破】

商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量

商品的銷售總利潤=(銷售價-成本價)× 銷售量

單件商品利潤=商品售價-商品進價=商品標價×折扣率-商品進價

商品打幾折出售，就是按原標價的十分之幾出售，即商品售價=商品標價×折扣率

九、利率和增長率問題

【典型例題】

例1(2016•安徽)2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，2015年比2014年增長9.5%，若2013年和2015年我省財政收入分別為a億元和b億元，則a、b之間滿足的關系式為(　　)

A.b=a(1+8.9%+9.5%)

B.b=a(1+8.9%×9.5%)

C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)

D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)

分析：根據2013年我省財政收入和2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，求出2014年我省財政收入，再根據出2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，

即可得出a、b之間的關系式.

解：∵2013年我省財政收入為a億元，2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，

∴2014年我省財政收入為a(1+8.9%)億元，

∵2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，

∴2015年我省財政收為b=a(1+8.9%)(1+9.5%);

故選C.

十、方案選擇問題(1)

【典型例題】

例1某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元.

(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案.

(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案?

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，

設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺.

(1)①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購(50-x)臺，可得方程

1500x+2100(50-x)=90000

即 5x+7(50-x)=300

2x=50

x=25

50-x=25

②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購(50-x)臺，

可得方程 1500x+2500(50-x)=90000

3x+5(50-x)=180

x=35

50-x=15

③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為(50-y)臺.

可得方程 2100y+2500(50-y)=90000

21y+25(50-y)=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機各25臺;二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺.

(2)若選擇(1)中的方案①，可獲利

150×25+200×25=8750(元)

若選擇(1)中的方案②，可獲利

150×35+250×15=9000(元)

9000>8750

故為了獲利最多，選擇第二種方案.

【方法突破】

這類問題根據題意分別列出不同的方案的代數式，再通過計算比較結果，即可得到滿足題意的方案，需要注意的是要留意題目中的方案要求，常見的是要求利潤最大，但是有時也有要求消庫存最多或者最節約成本，要注意審題，不可犯慣性錯誤。

十一、方案選擇問題(2)

【典型例題】

例1某班準備購置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老師安排小明和小強分別到甲、乙兩家商店咨詢了同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍的價格，下面是小明、小強和李老師的對話.

小明：甲商店乒乓球拍每副定價30元，乒乓球每盒定價5元，每買一副乒乓球拍可以贈送一盒乒乓球.

小強：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定價與甲商店一樣，但乙商店可以全部按定價的九折優惠.

李老師：我們班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒.

根據以上對話回答下列問題：

(1)當購置的乒乓球為多少盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多?

(2)若需要購置30盒乒乓球，你認為到哪家商店購買更合算?(要求有計算過程)

【解析】(1)根據題意可設當購買乒乓球x盒時，兩種優惠辦法付款一樣，列出一元一次方程解答即可.

(2)求出當購買30盒乒乓球時，甲、乙兩家商店各需要多少元，據此即可解答.

(1)設當購買乒乓球x盒時，

甲店：30×5+5×(x-5)=5x+125，

乙店：90%(30×5+5x)=4.5x+135，

由題意可知：5x+125=4.5x+135，

解得：x=20;即當購買乒乓球20盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多.

(2)當購買30盒乒乓球時，

去甲店購買要5×30+125=275(元)，

去乙店購買要4.5×30+135=270(元)，

所以去乙店購買合算.

【方法突破】

解決最佳選擇問題的一般步驟：

1、運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況;

2、用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解得值，分別代入兩種方案中計算，比較兩種方案的優劣后下結論。

十二、分配問題

【典型例題】

例1.學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數和學生的人數。

解：設房間數為x個，則有學生8x+12人，于是

8x+12=9(x-2)

解得 x=30

則 8x+12=252

答：房間數為30個，學生252人。

【方法突破】

這類分配問題中往往有兩個不變量，一般為參與分配的人數和被分配的物品數量，抓住這兩個不變量，用不同的代數式表示不同的分配方式，然后利用總數相等建立等量關系，問題也就迎刃而解了。

十三、有規律的相鄰數問題

【典型例題】

例1 一組數列1、4、7、10、…，其中有三個相鄰的數的和為66，求這三個數.

解析：觀察數列易得這個數列后面的數比它前面的數大3，設第一個數為x，表示出其余兩數，根據3個數相加等于66，列出方程，解方程即可.

設第一個數為x，則第二個數為x+3，第三個數為x+6，

依題意有：x+x+3+x+6=66，

解得x=19.

答：這三個數分別為：19、22、25.

【方法突破】

(1) 首先我們要熟悉數字問題中一些常用的表示：例如n可以表示任意整數，那么三個連續的整數可以表示為n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式;偶數常用2n表示,奇數常用2n+1或2n-1表示。

(2) 如果所給的數列是有一定規律的數列，我們關鍵要找到這列數字的規律，然后用相應的代數式表示出相鄰數，再列方程求解。

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