►三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關的

(1) 可向兩邊作垂線。(2)可作平行線，構造等腰三角形

(3)在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形

2. 與線段長度相關的

(1) 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

(2) 補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

(3)倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。

(4)遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關的

(1)考慮三線合一

(2)旋轉一定的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60 °

►四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。

1. 和平行四邊形有關的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。

(1) 利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

(2)利用兩組對邊平行構造平行四邊形

(3)利用對角線互相平分構造平行四邊形

2. 與矩形有輔助線作法

(1)計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題

(2)證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.

3. 和菱形有關的輔助線的作法

和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.

(1)作菱形的高

(2)連結菱形的對角線

4. 與正方形有關輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線

5. 與梯形有關的輔助線的作法

和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：

(1)作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形

(2)作梯形的高，構造矩形和直角三角形

(3)作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形

(4)延長兩腰構成三角形

(5)作兩腰的平行線等

►圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時(解決有關弦的問題時)

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連結過弦的端點的半徑。 作用：

(1) 利用垂徑定理 (2)利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系 (3)利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量

2. 遇到有直徑時，常常添加(畫)直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時 ，常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點

作用：利用圓周角的性質，可得到直徑

4. 遇到弦時，常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點

作用：(1)可得等腰三角形

(2)據圓周角的性質可得相等的圓周角

5. 遇到有切線時，常常添加過切點的半徑(連結圓心和切點)作用：利用切線的性質定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形常常添加連結圓上一點和切點

作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(1) 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

(2) 若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心(即作半徑) 作用：只需證OA⊥l，則l為切線

(3) 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線

7. 遇到兩相交切線時(切線長)

常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點 作用：據切線長及其它性質，可得到

(1)角、線段的等量關系 (2) 垂直關系 (3) 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內切圓時

連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段 作用：利用內心的性質，可得

(1) 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線

(2)內心到三角形三條邊的距離相等

9. 遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點

作用：外心到三角形各頂點的距離相等

10. 遇到兩圓外離時(解決有關兩圓的外、內公切線的問題)

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線 作用：(1)利用切線的性質; (2)利用解直角三角形的有關知識

11. 遇到兩圓相交時 常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等

作用：(1) 利用連心線的性質、解直角三角形有關知識 (2) 利用圓內接四邊形的性質 (3)利用兩圓公共的圓周的性質 (4) 垂徑定理

12.遇到兩圓相切時

常常作連心線、公切線 作用：(1) 利用連心線性質(2)切線性質等

13. 遇到三個圓兩兩外切時

(1)常常作每兩個圓的連心線 (2)作用：可利用連心線性質14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時 常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質

輔助線記憶歌訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關鍵常在輔助線;知中點、作中線，中線處長加倍看;底角倍半角分線，有時也作處長線;線段和差及倍分，延長截取證全等;公共角、公共邊，隱含條件須挖掘;全等圖形多變換，旋轉平移加折疊;中位線、常相連，出現平行就好辦;四邊形、對角線，比例相似平行線;梯形問題好解決，平移腰、作高線;兩腰處長義一點，亦可平移對角線;正余弦、正余切，有了直角就方便;特殊角、特殊邊，作出垂線就解決;實際問題莫要慌，數學建模幫你忙;圓中問題也不難，下面我們慢慢談;弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連;切點圓心緊相連，切線常把半徑添;兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦;切割線，連結弦，兩圓三圓連心線;基本圖形要熟練，復雜圖形多分解。

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