在準(zhǔn)備講課訓(xùn)練的時候提出了這個疑問，高中的知識中，例如兩點間距離完全可以用勾股定理求解，并且從學(xué)生的角度來說，把勾股定理套進直角坐標(biāo)系，雖然過程不難但是感覺有點多此一舉，且除了解題外沒有現(xiàn)實意義。

目前我的理解是，勾股定理本質(zhì)上是兩條線與第三條線的關(guān)系，也就是線線關(guān)系，兩點間距離公式的本質(zhì)是兩點間的關(guān)系，也就是說如果從點和線的角度看，兩者討論的問題并不一樣，而如果要討論兩點距離，不用尺子測量的話，就不能不使用直角坐標(biāo)系，再把勾股定理套進直角坐標(biāo)系。

我覺得最難向?qū)W生解釋的就是為什么一定要套進直角坐標(biāo)系，實際上當(dāng)同學(xué)們看到一個點的時候，無論是在課本還是在試卷上，這個點就有了一個坐標(biāo)，所以在很多同學(xué)的潛意識里，這個點已經(jīng)自帶了直角坐標(biāo)系，但是他們忘記了當(dāng)點獨立存在于平面或空間的時候是不存在大小體積和長度的，更不用說用坐標(biāo)來描述，也就是說這個點如果不是在某條線(面)上，這個點是不存在也無法描述的，這里指的是不能從數(shù)學(xué)角度向高中生描述。

所以直角坐標(biāo)系和數(shù)軸最大的意義在高中我覺得就是解釋了點的意義，描述了點這個問題，使得老師可以通過坐標(biāo)描述一個點，學(xué)生可以通過坐標(biāo)在平面上直觀地表現(xiàn)這個點。從數(shù)形結(jié)合的角度來說，也量化了一條直線，否則直線之間也沒有了區(qū)別，通過直角坐標(biāo)系斜率等等，約束了不同的直線，從而把他們用同一個標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一描述出來。

當(dāng)點和直線存在于同一個體系里，可以用數(shù)字去量化，就具備了計算的意義，而不是用尺子量，于是出現(xiàn)了各種方程和公式。

回到兩點間距離公式這個問題，如果隨便給出兩個點，我只用尺子測量距離，這個距離當(dāng)然準(zhǔn)確，但是如果又給出了一條直線，點到直線的距離用尺子不好測量，但是我們賦予一個直角坐標(biāo)系，把距離這條線的長度變成了一個可計算的數(shù)字，此時使用準(zhǔn)備好的公式去計算，這個長度就是準(zhǔn)確的，沒有測量誤差的，從我感覺到的數(shù)學(xué)來說，這樣才符合數(shù)學(xué)的精準(zhǔn)。

同時也可以看到直角坐標(biāo)系是沒有單位的，也就是說它是一個統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的工具，那么不論你的單位是什么，只要可以寫成方程，可以寫成坐標(biāo)，就可以放進直角坐標(biāo)系里討論一些相關(guān)的聯(lián)系，這也使方程具備了幾何意義，可以通過畫圖來觀察。

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