因式分解
1. 因式分解的概念：
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。
2. 因式分解與整式乘法的關系
因式分解與整式乘法都是整式變形，兩者互為逆變形。因式分解是將“和差”的形式化為“積”的形式，而整式乘法是將“積”化為“和差”的形式。
注：分解因式必須進行到每一個多項式的因式都不能再分解為止，即分解因式要徹底。
3. 公因式
多項式的各項都含有的公共因式叫做這個多項式各項的公因式。
系數——取各項系數的最大公約數；
字母——取各項都含有的字母；
指數——取相同字母的最低次冪。
例如：多項式 pa+pb+pc 中因式 p 即為多項式各項的公因式。
因式分解的方法
一、運用公式法
我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有：
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
a2 + 2ab + b2 = (a+b)2
a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。
1. 平方差公式
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積。這個公式就是平方差公式，即 a2 - b2 = (a+b)(a-b)
2. 完全平方公式
兩個數的平方和，加上（或者減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或者差）的平方。即 a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 ；a2 - 2ab + b2 = (a-b)2
注意：
① 項數為三項；有兩項是兩個數的的平方和，這兩項的符號相同；有一項是這兩個數的積的兩倍。
② 當多項式中有公因式時，應該先提出公因式，再用公式分解。
③ 完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。
④ 分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。
二、因式分解
1. 因式分解時，各項如果有公因式先提公因式，然后再進一步分解。
2. 因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。
三、分組分解法
如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式。
例如 am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
但如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。
所以原式= (am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)。
再看，這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以原式
= (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b).
這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。
四、提公因式法
公式 x2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) 的因式分解過程：
五、分式的乘除法
1. 把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
2. 分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式。
3. 如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分。
4. 分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如 x-y=-(y-x)， (x-y)2=(y-x)2， (x-y)3=-(y-x)3。
5. 分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負來處理。當然，簡單分式的分子分母可直接乘方.
6. 注意混合運算中應先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減.
六、分數的加減法
1、一般地，通分結果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進一步運算作準備。
2、通分的依據：分式的基本性質。
3、通分的關鍵：確定幾個分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。
4、類比分數的通分得到分式的通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
5、同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
6、異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，然后再加減。
7、同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號。
8、對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分。
9、異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化。
10、作為最后結果，如果是分式則應該是最簡分式。
七、含有字母系數的一元一次方程
引例：一數的a倍(a≠0)等于b，求這個數。用x表示這個數，根據題意，可得方程 ax=b(a≠0)
在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。
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