難度：★★★  考點：直角三角形斜邊上的中線

　　已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．

   

　　（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是（），QE與QF的數量關系式（）；

　　（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；

　　（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

　　考點：全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．

　　分析：（1）證△BFQ≌△AEQ即可；

　　（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可；

　　（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．

　　解答：解：（1）AE∥BF，QE=QF，

　　理由是：如圖1，∵Q為AB中點，

　　∴AQ=BQ，

　　∵BF⊥CP，AE⊥CP，

　　∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

　　在△BFQ和△AEQ中

　　∠BFQ＝∠AEQ

　　∠BQF＝∠AQE

　　BQ＝AQ

　　∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

　　∴QE=QF，

　　故答案為：AE∥BF，QE=QF．

　　（2）QE=QF，

　　證明：如圖2，延長FQ交AE于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠QAD=∠FBQ，

　　在△FBQ和△DAQ中

　　∠FBQ＝∠DAQ

　　AQ＝BQ

　　∠BQF＝∠AQD

　　∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

　　∴QF=QD，

　　∵AE⊥CP，

　　∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，

　　∴QE=QF=QD，

　　即QE=QF．

   

　　（3）（2）中的結論仍然成立，

　　證明：如圖3，

　　延長EQ、FB交于D，

　　∵AE∥BF，

　　∴∠1=∠D，

　　在△AQE和△BQD中

　　∠1＝∠D

　　∠2＝∠3

　　AQ＝BQ

　　∴△AQE≌△BQD（AAS），

　　∴QE=QD，

　　∵BF⊥CP，

　　∴FQ是斜邊DE上的中線，

　　∴QE=QF．

　　點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質是：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．