二次函數是一類十分重要的最基本的初等函數，也是初中數學的主要內容之一，它在中學數學中起著承上啟下的作用，它與一元二次方程、一元二次不等式知識的綜合運用，是初中代數的重點和難點之一．另外，二次函數在工程技術、商業、金融以及日常生活中都有著廣泛的應用．通過對二次函數的學習，使我們能進一步理解函數思想和函數方法，提高分析問題、解決問題的能力．正確掌握二次函數的基本性質是學好二次函數的關鍵．

　　1．二次函數的圖像及其性質

　　例1 (1)設拋物線y=2x²，把它向右平移p個單位，或向下移q個單位，都能使得拋物線與直線y=x-4恰好有一個交點，求p，q的值．

　　(2)把拋物線y=2x²向左平移p個單位，向上平移q個單位，則得到的拋物線經過點(1，3)與(4，9)，求p，q的值．

　　(3)把拋物線y=ax²＋bx＋c向左平移三個單位，向下平移兩個單位析式．

　　解 (1)拋物線y=2x²向右平移p個單位后，得到的拋物線為y=2(x-p)²．于是方程

2(x-p)²=x-4

有兩個相同的根，即方程

2x²-(4p+1)x+2p²＋4=0

的判別式

△=(4p+1)²-4?2?(2p²＋4)=0，

　　拋物線y=2x²向下平移q個單位，得到拋物線y=2x²-q．于是方程2x²-q=x-4

有兩個相同的根，即

△=1-4?2(4-q)=0，

　　(2)把y=2x²向左平移p個單位，向上平移q個單位，得到的拋物線為y=2(x+p)²＋q．于是，由題設得

解得p=-2，q=1，即拋物線向右平移了兩個單位，向上平移了一個單位．

　　　

　　　　

解得h=3，k=2．原二次函數為

　

　　說明 將拋物線y=ax²＋bx＋c向右平移p個單位，得到的拋物線是y=a(x-p)²＋b(x-p)＋c；向左平移p個單位，得到的拋物線是y=a(x＋p)²＋b(x＋p)＋c；向上平移q個單位，得到y=ax²＋bx＋c＋q；向下平移q個單位，得到y=ax²＋bx＋c-q．

　　例2 已知拋物線y=ax²＋bx＋c的一段圖像如圖3－7所示．

　

　　(1)確定a，b，c的符號；

　　(2)求a＋b＋c的取值范圍．

　　解 (1)由于拋物線開口向上，所以a＞0．又拋物線經過點(0，-1)，

合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．

　　(2)記f(x)=ax²＋bx＋c．由圖像及(1)知

　

所以

a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)，

-2＜a＋b＋c＜0．

　　例3 已知拋物線y=ax²-(a＋c)x+c(其中a≠c)不經過第二象限．

　　(1)判斷這條拋物線的頂點A(x₀，y₀)所在的象限，并說明理由；

　　(2)若經過這條拋物線頂點A(x₀，y₀)的直線y=-x+k與拋物線的另一

　　解 (1)因為若a＞0，則拋物線開口向上，于是拋物線一定經過第二象限，所以當拋物線y=ax²-(a＋c)x+c的圖像不經過第二象限時，必有a＜0．又當x=0時，y=c，即拋物線與y軸的交點為(0，c)．因為拋物線不經過第二象限，所以c≤0．于是

所以頂點A(x₀，y₀)在第一象限．

　　　

　　　　　　　　　　　

B在直線y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1．又由于直線y=-x+1經過

-2x²+2x．　

　　2．求二次函數的解析式

　　求二次函數y=ax²＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三個獨立的條件確定三個系數a，b，c．一般地有如下幾種情況：

　　(1)已知拋物線經過三點，此時可把三點坐標代入解析式，得到關于a，b，c的三元一次方程組，解方程組可得系數a，b，c．或者已知拋物線經過兩點，這時把兩點坐標代入解析式，得兩個方程，再利用其他條件可確定a，b，c．或者已知拋物線經過某一點，這時把這點坐標代入解析式，再結合其他條件確定a，b，c．

　　(2)已知拋物線的頂點坐標為(h，k)，這時拋物線可設為

y＝a(x-h)²＋k，

再結合其他條件求出a．

　　(3)已知拋物線與x軸相交于兩點(x₁，0)，(x₂，0)，此時的拋物線可設為

y=a(x-x₁)(x-x₂)，

再結合其他條件求出a．

　　例4 設二次函數f(x)=ax²＋bx＋c滿足條件：f(0)=2，f(1)=-1，

　　解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得

即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函數是

y＝ax²-(a＋3)x＋2．

　　由于二次函數的圖像在x軸上所截得的線段長，就是方程ax²-(a＋3)x＋2=0兩根差的絕對值，而這二次方程的兩根為

于是

　

　

　　因此所求的二次函數表達式為

　　例5 設二次函數f(x)=ax²＋bx+c，當x=3時取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長為4，求a，b，c的值．

　　分析 當x=3時，取得最大值10的二次函數可寫成f(x)＝a(x-3)²＋10，且a＜0．

　　解 因為拋物線的對稱軸是x=3，又因為圖像在x軸上截得的線段長是4，所以由對稱性，圖像與x軸交點的橫坐標分別是1，5．因此，二次函數又可寫成

f(x)=a(x-1)(x-5)

的形式，從而

a(x-3)²+10=a(x-1)(x-5)，

所以

　　

　　

　　例6 如圖3－8，已知二次函數y=ax²＋bx＋c(a＞0，b＜0)的圖像與x軸、y軸都只有一個公共點，分別為點A，B，且AB=2，b＋2ac=0．

　　(1)求二次函數的解析式；

　　(2)若一次函數y=x＋k的圖像過點A，并和二次函數的圖像相交于另一點C，求△ABC的面積．

　　解 (1)因二次函數的圖像與x軸只有一個公共點，故b²-4ac＝0，而b+2ac=0，所以

b²＋2b=0，

b=-2(因為b＜0)．

點B的坐標為(0，c)，AB=2，由勾股定理得

所以 1＋a²c²=4a²．

因為ac=1，所以

4a²=2，

　

　

　　

　

練習六

　　1．填空：

　　(1)將拋物線y=2(x-1)²+2向右平移一個單位，再向上平移三個單位，得到的圖像的解析式為______．

　　(2)已知y=x²＋px＋q的圖像與x軸只有一個公共點(-1，0)，則(p，q)=____．

　　(3)已知二次函數y=a(x-h)²＋k的圖像經過原點，最小值為-8，且形

　　(4)二次函數y=ax²＋bx＋c的圖像過點A(-1，0)，B(-3，2)，且它與x軸的兩個交點間的距離為4，則它的解析式為________．

　　(5)已知二次函數y=x²-4x＋m＋8的圖像與一次函數y=kx+1的圖像相交于點(3，4)，則m=___，k=_____．

　　(6)關于自變量x的二次函數y=-x²＋(2m＋2)x-(m²+4m-3)中，m是不小于零的整數，它的圖像與x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊，則這個二次函數的解析式為____．

　　2．設拋物線y=x²＋2ax＋b與x軸有兩個不同交點．

　　(1)把它沿y軸平移，使所得到的拋物線在x軸上截得的線段的長度是原來的2倍，求所得到的拋物線；

　　(2)通過(1)中所得曲線與x軸的兩個交點，及原來的拋物線的頂點，作一條新的拋物線，求它的解析式．

　　3．已知拋物線y=ax²＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，頂點為C．

　　

　　(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b²-4ac的值；

　　(3)若b²-4ac=12，試判斷△ABC的形狀．

　　4．有兩個關于x的二次函數C₁：y=ax²＋4x＋3a和C²：y=x²+2(b＋2)x+b²+3b．當把C₁沿x軸向左平移一個單位后，所得拋物線的頂點恰與C₂的頂點關于x軸對稱，求a，b．

　　5．已知二次函數y＝x²-2bx+b²+c的圖像與直線y=1-x只有一個公共點，并且頂點在二次函數y=ax²(a≠0)的圖像上，求a的取值范圍．

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