3．含絕對值的函數

　　一次函數的圖像是一條直線，含有絕對值符號的函數所對應的圖像是由若干條線段和射線所組成的折線；二次函數的圖像是拋物線，而y=|ax²＋bx＋c|的圖像是將y=ax²+bx+c在x軸下方的圖像按x軸為對稱軸翻到x軸的上方．對于一些其他的含絕對值符號的函數和方程的圖像，需要按區間分段討論．

　　例7 作函數y=|3-x|+|x-1|的圖像．

　　解 當x＜1時，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；

　　當1≤x＜3時，y=(3-x)＋(x-1)=2；當x≥3時，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以

它的圖像如圖3－3所示．

　　例8 作函數y=|x²-5x+6|的圖像．

　　解 當x≤2或x≥3時，x²-5x+6≥0，于是y=x²-5x+6；當2＜x＜3時，x²-5x+6＜0，于是y=-(x²-5x+6)．所以

于是，得圖像如圖3－4所示．

　　例9 點(x，y)滿足方程

|x-1|+|y+2|=2，

　　解 當x≥1，y≥-2時，x-1＋y＋2=2，即

y=-x+1．

當x≥1，x＜-2時，x-1-(y＋2)=2，即

y=x-5．

當x＜1，y≥-2時，-x+1+y＋2=2，即

y=x-1．

當x＜1，y＜-2時，-x＋1-(y＋2)=2，即

y=-x-3．

于是，所得圖像如圖3－5所示．

　　由此可知，|x-1|+|y+2|=2的圖像是一個對角線長為4，邊長為2

　　例10 m是什么實數時，方程x²-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數根？

　　解法1 將原方程變形為

x²-4|x|＋4=m-1．

令y=x²-4|x|+4=m-1，則

它的圖像如圖3－6，而y=m-1是一條與x軸平行的直線．原方程有四個互不相等的實根，即直線應與曲線有四個不同的交點．由圖像可知，當0＜m-1＜4，即1＜m＜5時，直線與曲線有四個不同的交點，所以，當1＜m＜5時，方程x²-4|x|＋5=m有四個互不相等的實數根．

　　說明 本題是一個方程問題，我們利用圖形來研究，這是一種非常重要的思想方法――數形結合法．當然，本題不用圖像也是可以解的，下面給出解法，請讀者比較一下．

　　解法2 原方程變形為

(|x|-2)²＝m-1，

　　1．填空：

　　(1)已知f(x-1)=19x²＋55x-44，則f(x)=_______．

　　(2)對所有實數x，f(x²+1)=x⁴＋5x²＋3，那么對所有實數x，f(x²-1)=_______．

　　(3)設x與y²成反比例，y與z²成正比例．當x=24時，y=2；當y=18時，z=3，則z=1時，x=_______．

　　(4)已知y=2x²＋mx＋5的值恒為正，且m為實數，則m的范圍是_______．

函數，且當x=2，x=3時，y的值都為19，則y的解析式為y=_______．

　　(6)如果y＋m與x＋n成正比例，且當x=1時，y=2；當x=-1時，y=1，則y與x間的函數關系式是y=_______．

　　2．在平面直角坐標系里，點A的坐標是(4，0)，點P是第一象限內一次函數y=-x＋6的圖像上的點，原點是O，如果△OPA的面積為S，P點坐標為(x，y)，求S關于x的函數表達式．

　　3．平面直角坐標上有點P(-1，-2)和點Q(4，2)，取點R(1，m)，試問當m為何值時，PR＋RQ有最小值．

　　試求k的取值范圍．

　　5．設y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，試求y的最大值與最小值之和．

　　6．作y=2|x-3|，y=x-a的圖像，問a取什么值時，它們可以圍出一個平面區域，并求其面積．

　　7．m是什么實數時，方程|x²-4x+3|=m有三個互不相等的實數解．